User:NAME XXX

Wikipedia:Templates_for_discussion/Log/2020_June_27Нехай у просторі елементів групи задана деяка крива, параметризована деякою величиною $\ t$. Це означає, що з усіх елементів групи вибираються лише ті, які можуть бути пронумеровані значеннями $\ t$. Далі, для лінійних груп можна вибрати параметризації $t$, які відповідають множині кривих, що покривають увесь простір групи та перетинаться при $t=0$, утримуючи тотожнє перетворення - одиничний елемент. Якщо ж розглядається добуток двох елементів лінійної групи, що лежать на одній кривій, причому один з них маркується як $t_{1}$, а другий - як $t_{2}$, то результуючий елемент також лежить на кривій та відповідає значенню $t_{2}$ параметризації:

$\mathbf {T} (t_{1})\mathbf {T} (t_{2})=\mathbf {T} (t_{1}+t_{2})\qquad (.6)$.

Нехай параметр $\ t$ є неперервним. Тоді наведену рівність можна продиференціювати по $t_{2}$, поклавши його рівним нулю. Тоді $\left({\frac {\partial \mathbf {T} (t_{1}+t_{2})}{\partial t_{2}}}\right)_{t_{2}=0}={\frac {d\mathbf {T} (t_{1})}{dt_{1}}}$ і, приймаючи позначення $t_{1}=t$, можна отримати

${\frac {d\mathbf {T} (t)}{dt}}=\mathbf {T} (t){\frac {d\mathbf {T} }{dt}}$.

У околі $\ t=0$ похідна матриці представлення $\mathbf {T}$ по часу відповідає $c_{k}\mathbf {X} ^{k}$. Тоді

${\frac {d\mathbf {T} (t)}{dt}}=c_{k}\mathbf {T} (t)\mathbf {X} ^{k}$.

Якщо взяти початкове рівняння та продиференціювати його по $t_{1}$, поклавши при цьому $t_{1}=0$, то, аналогічно, у околі $t_{2}=t=0$ буде справедлива рівність

${\frac {d\mathbf {T} (t)}{dt}}=c_{k}\mathbf {X} ^{k}\mathbf {T} (t)\qquad (.7)$.

Наведені рівності означають, що $[\mathbf {T} (t),\mathbf {X} _{k}]=0$. Це означає, що розв'язок рівняння $\ (.7)$ в околі нуля може бути записаний у вигляді

$\mathbf {T} (t)=e^{\mathbf {X} ^{k}c_{k}t}$.

Дійсно, оскільки в силу того, що із $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\alpha$ слідує $[f(\mathbf {X} ),\mathbf {Y} ]=f'(\mathbf {X} )\alpha$,

Доведення.

Дійсно, $[f(\mathbf {X} ),\mathbf {Y} ]=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}[\mathbf {X} ^{n},\mathbf {Y} ]=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n}\mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=$ $=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}\alpha +\mathbf {X} ^{n-2}\mathbf {X} \mathbf {Y} \mathbf {X} -\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}\alpha +\mathbf {X} ^{n-2}\alpha \mathbf {X} +\mathbf {X} ^{n-2}\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{2}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}(2\alpha \mathbf {X} ^{n-1}+\mathbf {X} ^{n-2}(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )\mathbf {X} ^{2}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=$ $=\sum _{n}c_{n}((n-1)\alpha \mathbf {X} ^{n}+(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )\mathbf {X} ^{n-1}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\alpha \sum _{n}c_{n}n\mathbf {X} ^{n-1}=\alpha f'(\mathbf {X} )$.

а комутатор $[c^{k}\mathbf {X} _{k},c^{j}\mathbf {X} _{j}]$ (використовується вираз для комутатора генераторів із попереднього підрозділу) рівен

$[c^{k}\mathbf {X} _{k},c^{j}\mathbf {X} _{j}]=c^{k}c^{j}[\mathbf {X} _{k},\mathbf {X} _{j}]=c^{k}c^{j}C_{kj}^{l}\mathbf {X} _{l}=0$

(в силу згортки антисиметричного "тензора" структурних констант та симетричного "тензора" $c^{k}c^{j}$ локальних координат), то $[\mathbf {T} ,c^{l}\mathbf {X} _{l}]=[e^{\mathbf {X} ^{k}c_{k}t},c^{l}\mathbf {X} _{l}]=0$. Тому якщо із $\ (.6)$ було б отримано, що $[\mathbf {T} ,c^{l}\mathbf {X} _{l}]\neq 0$, то розв'язок не можна було б представити у формі $\ (.8)$.

Завершуючи розділ, можна визначити зміст $c_{k}$. Вони відповідають компонентам дотичного вектора до кривої $\ t$ групового простору, причому поблизу нуля. Вектор розкладений по базису $\ \mathbf {X} ^{k}$. Сума $c_{k}c^{k}$ завжди може бути ототожнена із одиницею за допомогою перемасштабування параметра $\ t$.